若关于x的一元二次方程KX^2+(2k+3)x+1=0两根均为整数,求满足条件的K 的值

这是一道超奥数题.

答：使得方程kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数的所有有理数k=-1/3或1

解：K=0
kx^2+(k+2)x+(k-1)=0
2x-1=0
x=1/2,不符合已知条件，故k≠0

kx^2+(k+2)x+(k-1)=0的根都是整数
△=（k+2)^2-4k（k-1）≥0
3k^2-8k-4≤0
(4-2√7)/3≤k≤(4+2√7)/3

x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
-3k^2+8k+4=-3(k-4/3)^2+4+16/3
-3(k-4/3)^2≤0
-3k^2+8k+4≤4+16/3≤9
可知-3k^2+8k+4=0，1，2^2，3^2
讨论：
（1）-3k^2+8k+4=0
k=(4±2√7)/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=-1/2-1/k
x不全是整数，不符合已知条件。
（2）-3k^2+8k+4=1
k=(4±5)/3=3,-1/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=[-k-2±1)]/(2k)
=-1/2-1/k±1/(2k)
k=3,x不是整数，不符合已知条件;
k=-1/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=[-k-2±1)]/(2k)
=-1/2-1/（-1／3）±1/(-2／3)
=5/2±3/2
x=1,4,符合已知条件;
（3）-3k^2+8k+4=2^2
k=0,8/3,但k≠0
k=8/3
x=[-k-2±√(-3k^2+8k+4)]/(2k)
=-1/2-1/k±2/(2k)
=-1/2-1/k±1/k
x不是整数，不符合已知条件。
（4）-3k^2+8k+4=9=3^2
k=1,5/3
k=1
x=[-k-2±√(-3k